MULȚIMEA NUMERELOR COMPLEXE

1.Forma algebrică. Egalitatea a două numere complexe. Operații cu numere complexe

Definiția 1

Numerele de forma z = a + bi , , unde se numesc numere complexe (scrise în formă algebrică).
i  se numește unitatea imaginară
a  se numește parte reală
bi  se numește parte imaginară
b  se numește coeficientul părții imaginare

Mulțimea numerelor complexe se notează cu C.

Definiția 2

Două numere complexe se numesc egale dacă a = c și b = d.

Exemplu

Să se determine numerele reale x și y din relația : (x + y) + (3x + y)i = 3 – i. 

Rezolvare

Observăm că în fiecare membru al egalității avem câte un număr complex. Pentru ca acestea să fie egale vom pune condițiile din definiția 2 : .

Se rezolvă acest sistem și obținem: x = - 2 și y = 5.

Definiția 3

Definim pe C operațiile de adunare și înmulțire, astfel:

(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i

(a + bi)× (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.

Observați
În fond adunarea și înmulțirea se efectuează la fel ca la polinoame doar că se ține cont, acolo unde este cazul, că

Exemple
  1. + = 2 + 3i – 4 + i = - 2 + 4i ;
  2. - = 2 + 3i + 4 - i = 6 + 2i ;
  3. × = - 8 + 2i – 12i +3 = - 8 – 10i + 3· (- 1) = - 11 – 10i .

2.Modul. Numere complexe conjugate.

Definiția 4

Modulul unui număr complex z = a + bi este numărul real și se notează prin .

Observații

Dacă atunci

Exemplu

.

Definiția 5

Dacă z = a + bi este un număr complex atunci se numește conjugatul său. Numerele z și se numesc conjugate.

Observații
  • Suma și produsul a două numere complexe conjugate sunt numere reale;
  • Dacă atunci

Exemple
  1. i.

3. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

Numerele complexe se reprezintă geometric prin puncte ale unui plan (numit planul complex) în care am ales un sistem de axe ortogonale xOy. Fiecărui număr complex z = a + bi , i se asociază punctul M de coordonate (a,b). Punctul M se numește imaginea geometrică a numărului complex z, iar numărul z = a + bi se numește afixul punctului M.

Exemplu

Numerelor complexe li se asociază respectiv punctele . Desenul îl puteți face și singuri.

Observații
  • Fie z = a + bi și M(a,b) imaginea sa geometrică. Atunci =
    este chiar lungimea segmentului OM. Așadar numerele complexe de modul egal cu r se reprezintă în plan prin punctele cercului cu centrul în origine și de rază r .

4.Rezolvarea în C a ecuației de gradul II

Fie ecuația . În cazul în care ecuația are două rădăcini complexe date de formulele: .

Observații
  • Rădăcinile ecuației de gradul II cu coeficienți reali sunt numere complexe conjugate.
  • Rezultatele de la capitolul Ecuația de gradul II, privitoare la: relațiile lui Viete, formarea ecuației de gradul II când i se cunosc rădăcinile și descompunerea trinomului de gradul II, rămân valabile și în acest caz.
    •

Exemplu

Să se rezolve ecuația .

Rezolvare

    

deci ecuația are rădăcini complexe:     și analog .

Exerciții propuse

A.(ușoare)

  1. Să se găsească numerele reale x și y astfel încât :

    a) (1 - 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i

    b) (2 + i)x - (2 - i)y = x – y + 2i.

  2. Să se calculeze:

  3. Să se arate că numerele complexe , sunt soluții ale ecuației   
  1. Să se calculeze:
  2. Să se reprezinte geometric numerele complexe:

    a) 3 + 5i ; b) 4 - i ; c) 3i ; d) – 5 – 5i.

  3. Să se rezolve în C ecuațiile:
    4.

.

B.(nivel mediu)

7. Să se calculeze unde

8. Să se determine astfel încât numărul să fie real.

a) m = 2 b) m = 0 c) m = 1 d) m = 3 e) m = -1 .
  1. Să se rezolve în C ecuațiile: ;

10. Să se determine numerele complexe z, astfel încât

C.(dificile)

11. Dacă și sunt rădăcinile ecuației , să se calculeze:

12. Să se găsească toate numerele complexe ale căror pătrate să fie .